さまざまな半径でシリンダーの体積を見つける方法は？

産業界のシリンダーを扱うとき、1つの一般的な要件は、その量を計算することです。一定の半径を持つ通常のシリンダーの体積を見つけるための式はよく知られていますが、半径が変化すると物事は少し複雑になります。シリンダーサプライヤーとして、私はしばしば、さまざまなアプリケーションのためにそのようなシリンダーの量を計算する方法を理解する必要がある顧客と出会うことがよくあります。海洋油圧シリンダー海洋産業でまたはプレス用の10000トンの油圧シリンダー重い勤務において。

シリンダーのボリュームの基本を理解する

シリンダーのボリュームの基本的な概念から始めましょう。一定の半径（r）と高さ（h）を持つ標準シリンダーの場合、ボリューム（v）は式（v = \ pi r^{2} h）で与えられます。この式は、シリンダーのベースが円であり、円の面積が（a = \ pi r^{2}）であるという事実に由来しています。シリンダーの体積は、ベースエリアと高さの積です。

ただし、半径がシリンダーの高さに沿って変化する場合、この式を単純に使用することはできません。より高度な数学的手法、特に統合を使用する必要があります。

さまざまな半径シリンダー：数学的アプローチ

さまざまな半径を持つシリンダーは、互いの上に積み重ねられた一連の無限の薄い円形ディスクと考えることができます。各ディスクは、シリンダーの高さに沿った位置に応じて異なる半径を持っています。

シリンダーの半径（r）は、（r（y））として示される高さ（y）の関数であると仮定しましょう。シリンダーの体積を見つけるために、シリンダーの底から高さ（y）の厚さ（dy）の小さな円盤（dy）を考慮します。この小さなディスク（DV）の体積は、半径（r（y））と高さ（dy）を備えたシリンダーの体積にほぼ等しく、（dv = \ pi [r（y）]^{2} dy）。

シリンダーの総体積（v）を（y = 0）から（y = h）まで見つけるために、シリンダーの高さで（DV）を統合します。

[v = \ h_70} \ pi [治療）

例：線形変化する半径

シリンダーの半径がベース（y = 0））の（r_1）から上部（y = h）の（r_2）まで直線的に変化する簡単な例を見てみましょう。高さ（y）の関数としての半径の方程式は、線の2つのポイント形式を使用して記述できます。

線の勾配は（m = \ frac {r_2 -r_1} {h}）であり、線の方程式は（r（y）= r_1+\ frac {r_2 -r_1} {h} y）です。

ここで、ボリュームフォーミュラに置き換えます。

[v = \ int_ {0}^{h} \ pi \ left（r_1+\ frac {r_2 -r_1} {h} y \ right）^{2} dy]

まず、広場を拡張します。

（\ left（r_1+\ frac {r_2 -r_1} {h} y \ right）^{2} = r_1^{2}+2r_1 \ frac {r_2 -r_1} {h} y+\ left（\ frac {r_2 -2-- r_1} {h} \ right）^{2} y^{2}）

次に、用語ごとに統合します。

（\ int_ {0}^{h} \ pi r_1^{2} dy = \ pi r_1^{2} h）

（\ int_ {0}^{h} \ pi \ times2r_1 \ frac {r_2 -r_1} {h} y dy = \ pi \ times2r_1 \ frac {r_2-- r_1} {h} \ times \ frac {y^{2}} {2} \ big | _ {0}^{h} = \ pi r_1（r_2 -r_1）h）

（\ int_ {0}^{h} \ pi \ left（\ frac {r_2 -r_1} {h} \右）^{2} y^{2} dy = \ pi \ left（\ frac {r_2-- r_1} {h} \ right）^{2} \ times \ frac {y^{3}} {3}} \ big | _ {0}^{h} = \ frac {\ pi} {3}（r_2 -r_1）^{2} h）

総量（v = \ pi h \左（r_1^{2}+r_1（r_2 -r_1）+\ frac {1} {3}（r_2 -r_1）^{2} \右））

[v = \ frac {\ pi h} {3}（r_1^{2} + r_1r_2 + r_2^{2}）]]

業界のアプリケーション

業界では、さまざまな半径のシリンダーが多くのアプリケーションで使用されています。例えば、中空の油圧シリンダーストレスと圧力の分布を最適化するための非均一なクロスセクションがある場合があります。航空宇宙産業では、一部のコンポーネントは、さまざまな半径のシリンダーとして設計され、構造の完全性を維持しながら体重を減らします。

シリンダーサプライヤーの重要性

シリンダーサプライヤーとして、さまざまな半径でシリンダーの体積を計算する方法を理解することが重要です。顧客の特定の要件に応じて、シリンダーを正確に設計および製造することができます。たとえば、顧客が必要とする場合海洋油圧シリンダー特定のボリュームと独自の海洋アプリケーションのさまざまな半径を使用すると、これらの数学的原則を使用して、シリンダーがニーズを満たすことを確認できます。

また、これらの計算を使用して、材料の使用を最適化することもできます。ボリュームを正確に計算することにより、製造に必要な材料の量を判断できます。これは、コストを支援するのに役立ちます - 廃棄物の制御と削減。

実用的な考慮事項

現実の世界製造では、さまざまな半径のシリンダーを扱うときにいくつかの実際的な考慮事項があります。実際の半径の変動が設計された関数（r（y））と一致するように、製造プロセスを慎重に制御する必要があります。

測定技術も重要です。製品の品質を確認するために、シリンダーの高さに沿ってさまざまなポイントで半径を正確に測定できる必要があります。レーザースキャナーなどの高度な測定ツールを使用して、シリンダーの形状に関する詳細情報を取得できます。

結論

さまざまな半径でシリンダーの体積を計算することは、統合の使用を必要とする非些細なタスクです。数学の原則を理解し、実際の状況にそれらを適用することにより、幅広い産業向けに高品質のシリンダーを設計および製造できます。

シリンダーが必要な場合は、一定の半径または変化する半径を持っているかどうかにかかわらず、最良のソリューションを提供するためにここにいます。私たちの専門家チームは、あなたの特定の要件を理解し、あなたのニーズを満たすシリンダーを設計するためにあなたと協力することができます。調達ディスカッションを開始し、プロジェクトでお客様を支援する方法をご覧ください。

参照

• スチュワート、ジェームズ。 「Calculus：初期の超越。」 Cengage Learning、2015年。
• トーマス、ジョージB.、フィニー、ロスL.「微積分と分析ジオメトリ」。アディソン - ウェスリー、1996年。